Experimento Aleatório, Espaço Amostral e Eventos
Introdução
Experimentos aleatórios são situação na natureza que envolvem incertezas. A busca por avaliar as diversas probabilidades de ocorrência é um dos objetivos no estudo desses fenômenos.
O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório e é representado por \(\Omega\). Cada resultado possível é denominado ponto ou elemento de \(\Omega\) e denotado por \(\omega\). Assim, escrevemos \(\omega \in \Omega\) para indicar que \(\omega\) está em \(\Omega\). O conjunto sem elementos é o conjunto vazio, denotado por \(\emptyset\). Muitos autores (Magalhães (2006), James (2023), DeGroot e Schervish (2012)), denominam eventos (ou conjunto) como sendo letras maiúsculas do alfabeto, tais como A, B, etc. Assim:
Definição Seja \(\Omega\) o espaço amostral do experimento. Todo subconjunto \(A \in \Omega\) será chamado evento. \(\Omega\) é o evento certo, \(\emptyset\) o evento impossível. Se \(\omega \in \Omega\), o evento \(\{\omega\}\) é dito elementar (ou simples).
Eventos/Conjuntos
Operações Básicas e Definições
Lei Comutativa: \(A \cup B = B \cup A\) e, também, \(A \cap B = B \cap A\)
Lei Associativa: \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\) e, também, \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)
Lei Distributiva: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) e, também, \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
\(A^c\) (ou \(\bar{A}\)) é o complementar de \(A\), isto é, todos os elementos de \(\Omega\) exceto os de \(A\)
\(A_1 \cup A_2 ... \cup A_n\) ou \(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\) é a união de \(A_1, A_2, ..., A_n\) e representa os pontos de \(\Omega\) que pertencem à pelo menos um \(A_i\)
\(A_1 \cap A_2 ... \cap A_n\) ou \(\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i\) é a intersecção de \(A_1, A_2, ..., A_n\) e representa os pontos de \(\Omega\) que pertencem simultaneamente à todos os \(A_i\)’s.
\(A-B\) é a diferença entre \(A\) e \(B\), isto é, todos os elementos de \(A\), exceto os que estão em \(B\). Outra forma de notação é \(A \cap B^c\), pois \(A-B = A \cap B^c\)
Se todo o elemento de \(A\) é também um elemento de \(B\), então \(A\) é definido como um subconjunto de \(B\) e escrevemos \(A \subset B\) ou \(B \supset A\). Interpretamos como sendo “\(A\) está contido em \(B\)” ou “\(B\) contém \(A\)”
Dois conjuntos são disjuntos ou mutuamente excludentes se a sua interseção é vazio. Assim, \(A\ e\ B\ disjuntos \iff A \cap B = \emptyset\)
Digramas de Venn
Uma maneiras mais intuitivas de visualizar essas relações entre conjuntos é via Diagramas de Venn. Abaixo, podemos ver algumas das relações:
Leis de DeMorgan
As Leis de DeMorgan, ilustrada também no Diagrama de Venn anterior, são teoremas fundamentais que descrevem relações entre a união e interesecção entre conjuntos e de seus complementos.
O caso simples pode ser descrito abaixo:
\[ \begin{align*} (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \\ (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \end{align*} \]
Imagine as duas frases:
- A: “Está chovendo”
- B: “Está frio”
Portanto:
A negação de “Está chovendo e está frio” (\(A \cap B\)) é “Não está chovendo ou não está frio” (\(A^c \cup B^c\));
A negação de “Está chovendo ou está frio” (\(A \cap B\)) é “Não está chovendo e não está frio” (\(A^c \cap B^c\)).
Caso geral:
\[ \begin{align*} \left( \bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i \right)^c = \bigcap\limits_{i=1}^{n} A_i^c \\ \left( \bigcap\limits_{i=1}^{n} A_i \right)^c = \bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i^c \end{align*} \]
Vale ressaltar também que essa relação vale também quando \(n = \infty\), ou seja:
\[ \begin{align*} \left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i^c \\ \left( \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i \right)^c = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i^c \end{align*} \]