Funções de Variáveis Aleatórias
Introdução
Nesta seção vamos abordar alguns tópicos referentes à funções de variáveis aleatórias. Por definição, uma função \(g(.)\) (por exemplo, uma transformação linear) aplicada à uma variável aleatória \(X\), isto é, \(g(X)\) também será uma variável aleatória. Analogamente, uma função \(h(.)\) (por exemplo, uma soma) aplicada em um vetor aleatório \(\textbf{X}\), isto é, \(h(\textbf{X})\) também será uma variável aleatória.
Funções de Variáveis Aleatórias Discretas
Teorema Seja \(X\) uma distribuição discreta com distribuição massa de probabilidade \(f_X\) e seja \(Y = g(X)\) para alguma função de \(g\) definida no conjunto de valores possíveis de \(X\). Para cada valor possível \(y\) de \(Y\), a distribuição massa \(f_Y\) de Y é
\[ f_Y(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = \sum_{x:g(x) = y}f_X(x). \]
Isto é, devemos somar os valores da distribuição original de \(x\) nos novos pontos do novo domínio, isto é, o domínio de \(y\).
Teorema Seja \(X\) uma distribuição discreta com distribuição massa de probabilidade \(f_X\). Seja \(a \in \mathbb{R}, a \ne 0\) and \(b \in \mathbb{R}\), e seja \(Y = aX + b\). Então, \(f_Y(y) = P(Y = y) = P(aX + b = y) = P \left( X = \frac{y-b}{a} \right) = f_X\left(\frac{y-b}{a} \right)\)
Exemplo Seja \(X\) uma V.A. discreta com a seguinte forma:
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x)\) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 |
A distribuição de \(Y = X + 2\) é
| \(y\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(Y = y)\) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 |
A distribuição de \(W = 10X - 1\) é
| \(W\) | -1 | 9 | 19 | 29 | 39 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(W = w)\) | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 | 1/5 |
A distribuição de \(Z = X^2\) é
| \(z\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(Z = z)\) | 1/5 | 2/5 | 2/5 |
Funções de Variáveis Aleatórias Contínuas
Teorema Seja \(X\) uma distribuição contínua com distribuição densidade de probabilidade \(f_X\) e seja \(Y = g(X)\) para alguma função de \(g\) definida no conjunto de valores possíveis reais de \(X\). Para cada valor real \(y\) de \(Y\), a função de distribuição \(F_Y\) de Y é
\[ F_Y(y) = P(Y \le y) = P(g(X) \le y) = \int_{ \{ x:g(x) \le y \} }f_X(x)dx \]
Se a variável aleatória \(Y\) também tiver uma distribuição contínua, sua função densidade \(f_Y(y)\) pode ser obtida a partir da relação
\[ f_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} \]
Essa relação é satisfeita em todo ponto \(y\) em que \(F_Y\) é diferenciável.
Exemplo (Exemplo 5.6 de Meyer e Carvalho Bergström Lourenço Filho (2006)) Suponhamos que \(X\) tenha função densidade
\[ f_X(x) = \begin{cases} 2x, & \text{se } 0<x<1 \\ 0, & \text{caso contrario } \end{cases} \]
Seja \(Y = 3x+1\). Primeiramente, notemos que, neste caso, se \(0<x<1 \implies 1<y<4\).
Então, para obter a função densidade de \(Y\) teremos
\[ F_Y(y) = P(Y \le y) = P(3X +1 \le y) = P\left(X \le \frac{y-1}{3}\right) = F_X\left(\frac{y-1}{3}\right) \]
Mas
\[ F_X\left(\frac{y-1}{3}\right) = \int_{-\infty}^{\frac{y-1}{3}} 2x \ dx \overset{\text{A função é nula para } x > 0}{=} \int_{0}^{\frac{y-1}{3}} 2x \ dx = x^2 \Big|_{0}^{\frac{y-1}{3}} = \left(\frac{y-1}{3}\right)^2 \]
Consequentemente,
\[ f_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = \frac{d}{dy}\left[\left(\frac{y-1}{3}\right)^2\right] = \frac{2}{9}(y-1), \quad 1<y<4 \]
Logo, a resposta é:
\[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{9}(y-1), & \text{se } 1<y<4 \\ 0, & \text{caso contrario } \end{cases} \]
Exemplo (Exemplo 3.8.4 de DeGroot e Schervish (2012)) Suponha que \(X\) tenha a distribuição uniforme no intervalo \([−1, 1]\), então
\[ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{se } -1<x<1 \\ 0, & \text{caso contrario } \end{cases} \]
Determinaremos a função densidade da variável aleatória \(Y = X^2\). Primeiramente, notemos que, neste caso, se \(-1<x<1 \implies 0<y<1\).
Então, para obter a função densidade de \(Y\) teremos
\[ F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y) = P(-\sqrt{y}\le X \le \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) \]
Mas,
\[ F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f_X(x)\ dx = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\frac{1}{2}\ dx = \frac{x}{2} \Big|_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y}}{2} + \frac{\sqrt{y}}{2} = \sqrt{y} = y^{1/2} \]
Consequentemente,
\[ f_Y(y) = \frac{dF_Y(y)}{dy} = \frac{d}{dy}\left[y^{1/2}\right] = \frac{1}{2\sqrt{y}}, \quad 0<y<1 \]
Logo, a resposta é:
\[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}, & \text{se } 0<y<1 \\ 0, & \text{caso contrario } \end{cases} \]
Função da Soma de variáveis aleatórias independentes
Vimos em uma seção anterior que se as variáveis aleatórias \(X_1, X_2, ..., X_p\) são independentes então:
\[ P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, ..., X_p = x_p) = P(X_1 = x_1)P(X_2 = x_2)...P(X_p = x_p). \]
Vamos usar esse resultado para ilustrar a distribuição da soma de variáveis aleatórias independentes.
Exemplo (Exemplo 3.3.1 e 3.3.2 de Dantas (2013))
Uma urna contém três bolas vermelhas e cinco brancas. Retiram-se sucessivamente três bolas da urna, com reposiçao da bola a cada retirada. Tendo em vista que o experimento é com reposição, podemos assumir independência entre as retiradas. Vamos definir as variáveis \(X_i = 1\), se a \(i\)-ésima bola retirada for vermelha, e \(X_i = 0\), se for branca, para \(i = 1,2,3\) e determinar a distribuição conjunta de \(X_1\), \(X_2\) e \(X_3\).
Dado que são indepnedentes, as probabilidadesconjuntas podem ser facilmente calculadas através da multiplicação. Por exemplo:
\[ P(X_1 = 1, X_2 = 1, X_3 = 1) = P(X_1 = 1)P(X_2 = 1)P(X_3 = 1) = \left( \frac{3}{8}\right)^3 \]
Usando-se esta fórmula, podemos calcular as probabilidades conjuntas de todas as combinações possíveis:
| \((X_1, X_2, X_3)\) | Probabilidades |
|---|---|
| \((1,1,1)\) | \(\left( \frac{3}{8}\right)^3\) |
| \((1,1,0)\) | \(\left( \frac{3}{8}\right)^2 \frac{5}{8}\) |
| \((1,0,1)\) | \(\left( \frac{3}{8}\right)^2 \frac{5}{8}\) |
| \((0,1,1)\) | \(\left( \frac{3}{8}\right)^2 \frac{5}{8}\) |
| \((0,0,1)\) | \(\frac{3}{8} \left(\frac{5}{8}\right)^2\) |
| \((0,1,0)\) | \(\frac{3}{8} \left(\frac{5}{8}\right)^2\) |
| \((1,0,0)\) | \(\frac{3}{8} \left(\frac{5}{8}\right)^2\) |
| \((0,0,0)\) | \(\left(\frac{5}{8}\right)^3\) |
Definamos a variável aleatória \(S = X_1 + X_2 + X_3\), sendo igual ao número de bolas vermelhas entre as três retiradas. Determinaremos a distribuição de probabilidade de \(S\).
\(S\) assume os valores de \(0,1,2 \ \text{e} \ 3\). Seja \(k\) o valor de \(S\). Para calcular \(P(S = k)\) determinamos as triplas \((x_1, x_2, x_3)\) tais que \(S = x_1 + x_3 + x_3 = k\) e somamos as probabilidades. Por exemplo, para \(k = 2\) temos:
\[ P(S = 2) = P(X_1=1, X_2=1, X_3=0) + P(X_1=1, X_2=0, X_3=1) + P(X_1=0, X_2=1, X_3=1) = 3 \left(\frac{3}{8}\right)^2\frac{5}{8}. \]
Observe que podemos calcular todas as demais probabilidades somando os respectivos valores da tabela apresentada anteriormente. Portanto:
| \(S\) | Probabilidade |
|---|---|
| \(0\) | \(\left( \frac{5}{8}\right)^3\) |
| \(1\) | \(3\frac{3}{8} \left(\frac{5}{8}\right)^2\) |
| \(2\) | \(3\left( \frac{3}{8}\right)^2 \frac{5}{8}\) |
| \(3\) | \(\left(\frac{3}{8}\right)^3\) |
Posteriormente veremos que este exemplo simples trata-se de uma distribuição Binomial.
A forma geral da distribuição da soma é chamada de Convolução.