Aplicações de Probabilidade em arranjos, permutações e combinações

Definições

Definição O Fatorial de um número \(n\) é o produto de todos os naturais menores ou iguais a \(n\). Notação: fatorial de \(n\) é dado por \(n!\).

\[ n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times ... \times 1 \]

Definição Uma Permutação é o número de maneiras de ordenar os elementos de um conjunto, de forma que a ordem de cada elemento seja considerada e a ordem de todos os elementos seja diferente. Se em um conjunto estiver presentes \(m\) elementos distintos, a quantidade de maneiras diferentes que podemos ordenar é dada pelo Fatorial de \(m\), ou seja, por \(m!\).

Definição Um Arranjo é um agrupamento ordenado de elementos de um conjunto, onde a ordem dos elementos importa. Notação: o arranjo de \(N\) elementos em subgrupos de \(n\) elementos é dado por \(A^N_n\).

\[ A^N_n = \frac{N!}{(N-n)!} = N(N-1)...(N-n+1) \]

Definição Uma Combinação é um agrupamento de elementos de um conjunto, onde a ordem dos elementos não importa. Notação: a combinação de \(N\) elementos em subgrupos de \(n\) elementos é dado por \(C^N_n\) ou \({N \choose n}\).

\[ C^N_n = \frac{A^N_n}{n!} = \frac{N!}{n!(N-n)!} = \frac{N(N-1)...(N-n+1)}{n!} \]

Pela definição clássica de probabilidade, a probabilidade de um evento \(A\) é dada por:

\[ P(A) = \frac{Número\ de\ Elementos\ em\ A}{Número\ total\ de\ Elementos\ em\ \Omega} \]

Exemplos

Abaixo, seguem alguns exemplos:

Exemplo Um restaurante oferece oito opções para montar sua refeição, dentre as quais, o cliente pode escolher 4 destas para cada prato. Suponha que um cliente almoçará todos os dias neste restaurante, enquanto houver opções diferentes. Quantos dias este cliente poderá almoçar no restaurante, sem repetir uma refeição?¹

R.: Queremos saber de quantas maneiras diferentes podemos formar subconjuntos com quatro elementos, a partir de um conjunto com 8 elementos distintos.

Nesta escolha, a ordem dos itens escolhidos não possui nenhuma prioridade, por isso, se trata de um problema de combinação.

\[ C^{8}_4 = {8 \choose 4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \]

Exemplo (Dantas (2013)) Seis times participam de um torneio de basquete. Cada uma das equipes enfrentam todas a demais. Quantos jogos serão realizados?

R.: Precisamos calcular o número de amostras não ordenadas de tamanho 2 de um conjunto de 6 elementos. Logo:

\[ C^{6}_2 = {6 \choose 2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

Exemplo Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da mega-sena, fazendo uma aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados, dentre todos os sessenta números possíveis?

R.: primeiramente, vamos calcular a quantidade de jogos diferentes de seis números podemos formar com os sessenta números da mega-sena:

\[ C^{60}_6 = {60 \choose 6} = \frac{60!}{6!(60-6)!} = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57 \times 56 \times 55}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 50.063.860 \]

Fazendo o cálculo da probabilidade pela linguagem R:

n_sorteios_possiveis <- choose(60, 6)
print(paste0(format(1 / n_sorteios_possiveis * 100, scientific = FALSE), "%"))

[1] "0.000001997449%"

Logo, a resposta é \(\frac{1}{50063860} = 0,000001997449\%\).

Exemplo (DeGroot e Schervish (2012)) Suponha que uma moeda honesta seja lançada 10 vezes e que se deseja determinar (a) a probabilidade \(p_1\) de obter exatamente três caras e (b) a probabilidade \(p_2\) de obter três ou menos caras.

R.: a) O número total possível de sequências diferentes de 10 caras e coroas é \(2^{10}\), e pode-se supor que cada uma dessas sequências seja igualmente provável. O número dessas sequências que contêm exatamente três caras será igual ao número de arranjos diferentes que podem ser formados com três caras e sete coroas. Aqui estão alguns desses arranjos (onde, “H” é cara e “T” é coroa): HHHTTTTTTT, HHTHTTTTTT, HHTTHTTTTTT, TTHTHTHTTT, etc. Cada arranjo é equivalente a uma escolha de onde colocar as 3 caras entre os 10 lançamentos, então há \(C^{10}_3\) possibilidades. Logo, a probabilidade de obter exatamente três caras é então

\[ p_1 = \frac{C^{10}_{3}}{2^{10}} \approx 0,1172 = 11,72\% \]

Fazendo o cálculo da probabilidade pela linguagem R:

print(paste0(format(choose(10, 3) / (2^10), scientific = FALSE), "%"))

[1] "0.1171875%"

2. Usando o mesmo raciocínio da parte (a), o número de sequências no espaço amostral que contêm exatamente k caras (k = 0, 1, 2, 3) é \(C^{10}_k\). Portanto, a probabilidade de obter três ou menos caras é

\[ p_2 = \frac{C^{10}_{0} \times C^{10}_{1} \times C^{10}_{2} \times C^{10}_{3}}{2^{10}} = \frac{1+10+45+120}{2^{10}} = \frac{176}{2^{10}} \approx 0,1719 = 17,19\% \]

Fazendo o cálculo da probabilidade pela linguagem R:

print(paste0(format((choose(10, 0) + choose(10, 1) + choose(10, 2) + choose(10, 3)) / (2^10), scientific = FALSE), "%"))

[1] "0.171875%"

Exemplo (DeGroot e Schervish (2012)) Suponha que uma turma contenha 15 meninos e 30 meninas, e que 10 alunos sejam selecionados aleatoriamente para uma tarefa especial. Devemos determinar a probabilidade \(p\) de que exatamente três meninos sejam selecionados. O número de combinações diferentes dos 45 alunos que podem ser obtidas na amostra de 10 alunos é \({45 \choose 10}\), e a afirmação de que os 10 alunos são selecionados aleatoriamente significa que cada uma dessas \({45 \choose 10}\) combinações possíveis é igualmente provável. Portanto, devemos encontrar o número dessas combinações que contêm exatamente três meninos e sete meninas. Quando uma combinação de três meninos e sete meninas é formada, o número de combinações diferentes nas quais três meninos podem ser selecionados entre os 15 meninos disponíveis é \({15 \choose 3}\), e o número de combinações diferentes nas quais sete meninas podem ser selecionadas entre as 30 meninas disponíveis é \({30 \choose 7}\). Como cada uma dessas combinações de três meninos pode ser pareada com cada uma das combinações de sete meninas para formar uma amostra distinta, o número de combinações contendo exatamente três meninos é \({15 \choose 3}\) \({30 \choose 7}\). Portanto, a probabilidade desejada é

\[ p = \frac{{15 \choose 3} {30 \choose 7}}{{45 \choose 10}} \approx 0,2904 = 29,04\% \]

Fazendo o cálculo da probabilidade pela linguagem R:

print(paste0(format((choose(15, 3) * choose(30, 7)) / choose(45, 10), scientific = FALSE), "%"))

[1] "0.2903557%"

Referências

Dantas, C. A. B. 2013. Probabilidade: Um Curso Introdutório Vol. 10. EDUSP.

DeGroot, M. H., e M. J. Schervish. 2012. Probability and Statistics. Addison-Wesley.

Notas de rodapé

1. Retirado deste link.